2025-11-06

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動力学と運動学

動力学と運動学の違い

動力学（ドウリキガク）

• 定義: 位置、速度、加速度、力が出てくる
• 運動方程式: 力の関係式
• 注意: 動くものを対象にした力学（「ドウリョクガク」ではない）

運動学（ウンドウガク）

• 定義: 位置関係のみを扱う
• 説明: 任意の部品を動かすと、それに関連した部品が動く
• 別名: キネマティック

重要: 動力学の運動方程式と運動学は異なる概念なので注意（間違いやすい）

• 運動方程式: 力の関係
• 運動学: 位置関係のみ

動力学の基礎

鉄球を落とす例

鉄球を落とす場合、その鉄球は徐々に加速する。

グラフ表現

速度（v）
｜  /
｜ /
｜/
ーーーーーーーーー時間（t）

位置（x）
｜ /
｜|
｜/
ーーーーーーーーー時間（t）
（t^2に比例する）

• 位置は2乗カーブに比例する
• 位置から速度を求めるには微分する
• 速度から加速度を求めるには微分する
• 加速度から速度を求めるには積分する
• 速度から位置を求めるには積分する

注意: この条件では加速度が一定なので、速度は時間に比例して変化する。

時間による微分

ここでは時間tによる微分を扱う（微小時間の範囲での平均変化率）。

微分を扱う場合、横軸が微分する変数の値となるのが一般的。この場合はtが横軸に当たるので、このtで微分する。

速度（位置の時間微分）

時間tによる微分（位置変位xを時間tで微分）

v = dx/dt
  = ẋ

• v: 速度（velocity）
• ẋ: 時間で微分したことを省略記法で表現（ニュートンの記法、xの上に点）

加速度（速度の時間微分）

a = dv/dt          （速度を時間で微分）
  = d²x/dt²
  = ẍ              （xの上に2つの点、2階微分）

注意: 動力学では時間の微分を、ẋ（1階微分）やẍ（2階微分）で表す（ニュートンの記法）。

積分

x = ∫v dt          （tでxを積分）

微分の表現方法

ニュートンの記法

• 時間微分: ẋ（xの上に点）、ẍ（xの上に2つの点）など
  • 1階微分: ẋ = dx/dt
  • 2階微分: ẍ = d²x/dt²
• アイザック・ニュートン（イギリスの数学者・物理学者）が使用していた
• 動力学では特に時間微分に ẋ, ẍ の記法がよく使われる

ライプニッツの記法

• dy/dx や df(x)/dx など（分数形式）
• ゴットフリート・ライプニッツ（ドイツの数学者）が考案
• Δy/Δx や Δf(x)/Δx などが元（差分商から発展）

ラグランジュの記法

• f'(x) や y' など（プライム記号）
• ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ（フランスの数学者）が使用
• 関数の導関数を表す際によく使われる

運動方程式

例1: 重力による落下

t=0の時に鉄球を離す。

• 鉄球には重力加速度が一定で常にかかる → gと表す
• 鉄球の質量をm[kg]とする
  • 質量: どこでも一定の値
  • 重さ: 重力によって変化するその時の測定値

この条件時にかかる力は以下の式で表される：

F = mg

• F: 重力（力）[N]
• m: 質量[kg]
• g: 重力加速度[m/s²]
• mg: 力[N]

これらは運動方程式であり、力の関係式として表される。

例2: 加速度による運動

加速度a[m/s²]で表される。

    ーーーーーーー
    ｜          ｜→引っ張る力F[N]（ニュートン）
    ｜          ｜
ーーーーーーーーーーーーー
質量m[kg]（質量はkgを一般的に使う）

F = ma              （ただし、加速度が一定）
または
F = mẍ

単位

• 位置xの単位: [m]
• 速度vの単位: [m/s]
• 加速度aの単位: [m/s²]

並進運動と回転運動

並進運動（平行移動）

□→F
a→

• 位置: x[m]
• 速度: v = ẋ[m/s]
• 加速度: a = ẍ[m/s²]
• 力: F[N]
• 質量: m[kg]

運動方程式:

F = ma
F = mẍ

回転運動

円盤を回転させる場合、回転角（回転角度の量）を扱う。

• 回転角: 任意の角度の変位（どれだけ位置が変化したか）→ Θ[rad]（ラジアン）

回転運動の物理量

• 角度: Θ[rad]
• 角速度: ω = Θ̇[rad/s]
• 角加速度: α = Θ̈[rad/s²]
• トルク: τ[N·m]（よくτ（タウ）で表現される）
• 慣性モーメント: J[kg·m²]（よくJが使われる）

慣性モーメントとは？

定義: 回しやすさ（まわしにくさ）

例: 同じ材料で同じ質量の円盤で、半径が違う場合（r₁ > r₂）

• 円盤の慣性モーメントは I = (1/2)mr² で表されるため、半径が小さい（r₂）方が慣性モーメントが小さい

性質:

• 慣性モーメントが小さいものは素早い動作に向く
• 慣性モーメントが大きいものは回転の安定化作用を生み出すのに使われる（フライホイールなど）
• 注意: 慣性モーメントは形状によっても変わるので形状が重要である

回転の運動方程式

τ = JΘ̈

この式が回転の運動方程式である。

並進運動の運動方程式（再掲）

F = ma