Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource note Description An account of the resource 日常のノート note 日常のノートの記録 note テキストの自由記述 <div> <div># 2自由度アームのヤコビ行列</div> <div>## 順運動学と逆運動学の比較</div> <div>### 順運動学（Forward Kinematics）</div> <div>**定義**：関節角から手先位置・姿勢を求める問題</div> <div>$$</div> <div>\text{入力：関節角} \quad \boldsymbol{\theta} = [\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n]^T</div> <div>$$</div> <div>$$</div> <div>\text{出力：手先位置・姿勢} \quad \mathbf{p} = [x, y, z, \phi_x, \phi_y, \phi_z]^T</div> <div>$$</div> <div>```mermaid</div> <div>flowchart LR</div> <div> A["関節角 θ = [θ₁, θ₂, ..., θₙ]"] -->|順運動学| B["手先位置・姿勢 p = [x, y, z, φ]"]</div> <div> direction LR</div> <div>```</div> <div>**特徴**：</div> <div>- **解析的に求めることができる**（機械的に）</div> <div>- Denavit-Hartenberg記法などの手法を用いて、同次変換行列の連結により計算可能</div> <div>- **解が必ず1つ存在する**（一意解）</div> <div>**方法**：</div> <div>- Denavit-Hartenberg（D-H）記法</div> <div>- 同次変換行列の連結</div> <div>- 幾何学的計算</div> <div>### 逆運動学（Inverse Kinematics）</div> <div>**定義**：手先位置・姿勢から関節角を求める問題</div> <div>$$</div> <div>\text{入力：手先位置・姿勢} \quad \mathbf{p} = [x, y, z, \phi_x, \phi_y, \phi_z]^T</div> <div>$$</div> <div>$$</div> <div>\text{出力：関節角} \quad \boldsymbol{\theta} = [\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n]^T</div> <div>$$</div> <div>```mermaid</div> <div>flowchart LR</div> <div> A["手先位置・姿勢 p = [x, y, z, φ]"] -->|逆運動学| B["関節角 θ = [θ₁, θ₂, ..., θₙ]"]</div> <div> direction LR</div> <div>```</div> <div>**問題点**：</div> <div>- **求めることが難しい場合がある**</div> <div>- 解が存在しない場合がある</div> <div>- 解が複数存在する場合がある（多値性）</div> <div>- 解析的な解が得られない場合がある</div> <div>**解決策**：**ヤコビ行列の利用**</div> <div>## ヤコビ行列の基本</div> <div>### 1変数関数の場合</div> <div>ヤコビ行列の基本概念を理解するために、まず1変数関数の例から考えます。</div> <div>関数$y = f(x)$を考えます。点$P(x_0, f(x_0))$が与えられたとき、**ここから少しズレした点の座標を求めたい**とします。</div> <div>```mermaid</div> <div>graph LR</div> <div> A["点P x₀, f(x₀)"] -->|少しズレ| B["新しい点 x₀ + Δx, ?"]</div> <div> direction LR</div> <div>```</div> <div>**問題**：$x$が$x_0$から$\Delta x$だけ変化したとき、対応する$y$座標は？</div> <div>**正確な値**：</div> <div>点$P'$の座標は：</div> <div>$$</div> <div>P'(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))</div> <div>$$</div> <div>- $X$座標：$x_0 + \Delta x$</div> <div>- $Y$座標：$f(x_0 + \Delta x)$（正確な値）</div> <div>```mermaid</div> <div>graph TB</div> <div> P["点P x₀, f(x₀)"] -->|Δxだけ変化| P2["点P' x₀ + Δx, f(x₀ + Δx)"]</div> <div> P2 -->|正確な値| Exact["f(x₀ + Δx)"]</div> <div>```</div> <div>### 微分の表記法と接線の傾き</div> <div>関数$y = f(x)$を微分すると、以下のような表記法があります：</div> <div>$$</div> <div>y' \quad \text{又は} \quad f'(x) \quad \text{又は} \quad \frac{dy}{dx} \quad \text{又は} \quad \frac{df(x)}{dx}</div> <div>$$</div> <div>これらはすべて同じ意味で、**接線の傾きがわかる**ことを示しています。</div> <div>```mermaid</div> <div>graph TB</div> <div> A["関数 y = f(x)"] -->|微分| B["y' または f' x または dy/dx"]</div> <div> B --> C["接線の傾きがわかる"]</div> <div> </div> <div> D["元の関数は曲線であることが多い"] --> E["接線は直線 シンプル"]</div> <div> E --> F["これで元の関数を近似 局所線形化"]</div> <div>```</div> <div>**接線の性質**：</div> <div>- 元の関数は曲線であることが多い</div> <div>- 接線は**直線**（シンプル）</div> <div>- これで元の関数を近似できる（**局所線形化**）</div> <div>### 拡大してみる：接線による近似</div> <div>点$P$の周辺を拡大して見ると、接線による近似の仕組みが理解できます。</div> <div>点$P(x_0, f(x_0))$における接線の傾きは$f'(x_0)$です。</div> <div>```mermaid</div> <div>graph TB</div> <div> P["点P x: x₀ y: f(x₀)"] -->|接線| T["接線 傾き f' x₀"]</div> <div> T -->|Δxだけ移動| P2["点P' x: x₀ + Δx y ≈ f(x₀) + f' x₀ · Δx"]</div> <div> P2 -->|実際の曲線上の点| P3["点P'' x: x₀ + Δx y: f(x₀ + Δx)"]</div> <div>```</div> <div>**三角形の高さ**：</div> <div>接線上の点$P'$と点$P$の間の$y$座標の差は、三角形の高さとして計算できます：</div> <div>$$</div> <div>\text{三角形の高さ} = \text{傾き} \times \text{底辺} = f'(x_0) \cdot \Delta x</div> <div>$$</div> <div>したがって、点$P'$の$y$座標の近似値は：</div> <div>$$</div> <div>P' \text{の} y \text{座標} = P \text{の} y \text{座標} + \text{三角形の高さ} = f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x</div> <div>$$</div> <div>### 別解：微分を用いた近似解</div> <div>**微分を用いて近似解を求める方法もある**。</div> <div>$\Delta x$が十分小さい場合、テイラー展開の1次項までで近似できます：</div> <div>$$</div> <div>f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x</div> <div>$$</div> <div>ここで、$f'(x_0) = \frac{df}{dx}\Big|_{x=x_0}$は点$x_0$における微分係数（傾き）です。</div> <div>したがって、点$P'$の$Y$座標の**近似値**は：</div> <div>$$</div> <div>f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x</div> <div>$$</div> <div>$y$の変化量$\Delta y$は：</div> <div>$$</div> <div>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0) \cdot \Delta x</div> <div>$$</div> <div>つまり：</div> <div>$$</div> <div>\Delta y = \frac{df}{dx}\Big|_{x=x_0} \cdot \Delta x</div> <div>$$</div> <div>```mermaid</div> <div>flowchart LR</div> <div> A["入力の微小変化 Δx"] -->|微分係数 f' x₀| B["出力の微小変化 Δy ≈ f' x₀ · Δx"]</div> <div> direction LR</div> <div>```</div> <div>**正確な値と近似解の比較**：</div> <div>| 方法 | $Y$座標の値 | 特徴 |</div> <div>|------|------------|------|</div> <div>| **正確な値** | $f(x_0 + \Delta x)$ | 厳密だが、関数$f$の値を直接計算する必要がある |</div> <div>| **近似解** | $f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$ | 微分係数さえ分かれば計算可能。$\Delta x$が小さいほど精度が高い |</div> <div>### 近似誤差について</div> <div>点$P''$（曲線上の実際の点）と点$P'$（接線上の近似点）の座標の値は**少しずれている**（近似値）。</div> <div>**誤差の性質**：</div> <div>- $\Delta x$が小さければ、この誤差も**小さくなる**</div> <div>- 接線は直線であり、元の関数（曲線）を近似している</div> <div>- これは**局所線形化**と呼ばれる</div> <div>```mermaid</div> <div>graph LR</div> <div> A["Δxが小さい"] --> B["近似誤差も小さい"]</div> <div> C["接線は直線"] --> D["元の関数（曲線）を近似"]</div> <div> D --> E["局所線形化"]</div> <div>```</div> <div>### 逆問題の例</div> <div>**例**：点$P''$の$Y$座標がわかっている時に、$P''$の$X$座標を求めたい。</div> <div>#### 正解（正確な値）</div> <div>$$</div> <div>x = f^{-1}(y)</div> <div>$$</div> <div>**逆関数**を用いる方法ですが、**難しいときもある**。</div> <div>- 逆関数が存在しない場合がある</div> <div>- 逆関数が複数値になる場合がある</div> <div>- 逆関数の解析的な式が得られない場合がある</div> <div>#### 近似解</div> <div>**接線の傾きを利用**する方法。</div> <div>点$P$の$x$座標と$y$座標は両方わかっているとします。点$P'$の$y$座標はわかっているが、$x$座標を知りたいとします。</div> <div>**考え方**：$P'$の接線の傾きを、$P$の傾きで代用してみる（少し誤差はある）。</div> <div>```mermaid</div> <div>graph TB</div> <div> P["点P xもyもわかっている"] -->|y座標はわかっている| P2["点P' ↓x座標を知りたい"]</div> <div> P -->|接線の傾き f' x₀| T["Pの接線"]</div> <div> T -.->|代用| P2T["P'の接線の傾き （不明）"]</div> <div> P2T -->|近似| P2</div> <div>```</div> <div>### 逆問題の近似解：$\Delta y$から$\Delta x$を求める</div> <div>**問題**：$\Delta y$がわかっている時に、$\Delta x$を求めたい。</div> <div>**傾きの定義**：</div> <div>$$</div> <div>\text{傾き} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0)</div> <div>$$</div> <div>この式を変形すると：</div> <div>$$</div> <div>\Delta x = \frac{1}{\text{傾き}} \times \Delta y = \frac{1}{f'(x_0)} \cdot \Delta y</div> <div>$$</div> <div>したがって、新しい$x$座標の近似値は：</div> <div>$$</div> <div>x_1 = x_0 + \frac{\Delta y}{f'(x_0)}</div> <div>$$</div> <div>**利点**：</div> <div>- **シンプルな式**で逆問題を**近似値計算**できる</div> <div>- 接線は直線なので、計算が簡単</div> <div>- 局所線形化により、逆関数を直接求める必要がない</div> <div>```mermaid</div> <div>flowchart LR</div> <div> A["Δy わかっている"] -->|1/f' x₀| B["Δx 知りたい"]</div> <div> C["傾き f' x₀ わかっている"] --> B</div> <div> B --> D["x₁ = x₀ + Δy/f' x₀"]</div> <div>```</div> <div>**逆問題における利点**：</div> <div>- **逆問題がとても簡単になる**</div> <div>- 接線は直線なので、計算がシンプル</div> <div>- これで元の関数を近似できる（局所線形化）</div> <div>- 逆関数を直接求める必要がない</div> <div>**1変数関数の場合の「ヤコビ行列」**：</div> <div>- 1変数関数では、ヤコビ行列は1×1行列（スカラー）となり、それは微分係数$f'(x_0)$そのものです</div> <div>- $\Delta y = f'(x_0) \cdot \Delta x$という関係式が、多変数関数におけるヤコビ行列の関係式の原型です</div> <div>- 逆問題では、$\Delta x = \frac{1}{f'(x_0)} \cdot \Delta y$という関係式が、多変数関数における逆ヤコビ行列の関係式の原型です</div> <div>### 多変数関数への拡張</div> <div>#### 1変数関数と多変数関数の比較</div> <div>**1変数関数**：</div> <div>- $y = f(x)$</div> <div>- 変数：**1つだけ**</div> <div>**ロボット工学における多変数関数**：</div> <div>ロボット工学では**多変数関数**が使われます。</div> <div>**順運動学**：</div> <div>```mermaid</div> <div>flowchart LR</div> <div> A["関節角 θ₁, θ₂, ..., θₘ 複数（n個の）"] -->|順運動学| B["手先 x, y, z φ, θ, ψ"]</div> <div> B --> C["こちらも複数ある"]</div> <div> B --> D["こちらは1つずつ考えてもよい"]</div> <div>```</div> <div>- **入力**：複数の関節角 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n$（$n$個の関節角）</div> <div>- **出力**：手先の位置・姿勢</div> <div> - 位置：$x, y, z$（こちらも複数ある）</div> <div> - 姿勢：$\phi, \theta, \psi$（こちらは1つずつ考えてもよい）</div> <div>#### たくさんの「傾き」が存在する</div> <div>多変数関数では、**たくさんの「傾き」が存在する**。</div> <div>- $\theta_1$以外は変化させず、$\theta_1$だけを変化させたときの傾き</div> <div>- $\theta_2$以外は変化させず、$\theta_2$だけを変化させたときの傾き</div> <div>- $\theta_3$以外は変化させず、$\theta_3$だけを変化させたときの傾き</div> <div>- $\ldots$</div> <div>- $\theta_n$以外は変化させず、$\theta_n$だけを変化させたときの傾き</div> <div>これらは**偏微分を用いて求める**ことができます。</div> <div>#### 偏微分の定義</div> <div>**偏微分**とは：</div> <div>- **着目する変数以外は変化させない**状況で微分を行う</div> <div>- 着目する変数以外は**定数とみなせる**</div> <div>- （定数の微分はゼロ）</div> <div>記号：$\frac{\partial}{\partial \theta_i}$は「ラウンド」と読み、**偏微分を表す記号**です。</div> <div>```mermaid</div> <div>graph TB</div> <div> A["多変数関数"] --> B["偏微分"]</div> <div> B --> C["着目する変数以外は 変化させない"]</div> <div> C --> D["定数とみなせる"]</div> <div> D --> E["定数の微分はゼロ"]</div> <div>```</div> <div>#### 多変数関数のヤコビ行列</div> <div>多変数関数$\mathbf{y} = \mathbf{f}(\mathbf{x})$の場合、1変数の微分係数の代わりに**ヤコビ行列**が使われます：</div> <div>$$</div> <div>\Delta \mathbf{y} = \mathbf{J}(\mathbf{x}_0) \Delta \mathbf{x}</div> <div>$$</div> <div>ここで、$\mathbf{J}(\mathbf{x}_0)$は点$\mathbf{x}_0$におけるヤコビ行列です。</div> <div>## ヤコビ行列による逆運動学の解法</div> <div>### なぜヤコビ行列を使うのか？</div> <div>順運動学の式を微小変化で線形化することで、逆運動学を解くことができる。</div> <div>### 基本的な考え方</div> <div>順運動学の関係式：</div> <div>$$</div> <div>\mathbf{p} = \mathbf{f}(\boldsymbol{\theta})</div> <div>$$</div> <div>この式を微小変化で線形化すると：</div> <div>$$</div> <div>\delta \mathbf{p} = \mathbf{J}(\boldsymbol{\theta}) \delta \boldsymbol{\theta}</div> <div>$$</div> <div>ここで、$\mathbf{J}(\boldsymbol{\theta})$は**ヤコビ行列**である。</div> <div>**記号について**：</div> <div>- $\delta$：微小変化を表す記号（変位・変分）</div> <div>- $\Delta$：有限の変化量を表す記号</div> <div>- 本資料では、微小変化には$\delta$、有限変化には$\Delta$を使用しています</div> <div>### 速度の関係</div> <div>両辺を時間$dt$で割ると：</div> <div>$$</div> <div>\dot{\mathbf{p}} = \mathbf{J}(\boldsymbol{\theta}) \dot{\boldsymbol{\theta}}</div> <div>$$</div> <div>ここで：</div> <div>- $\dot{\mathbf{p}}$：手先速度</div> <div>- $\dot{\boldsymbol{\theta}}$：関節角速度</div> <div>### 逆速度運動学</div> <div>ヤコビ行列の逆行列が存在する場合（正則な場合）：</div> <div>$$</div> <div>\dot{\boldsymbol{\theta}} = \mathbf{J}^{-1}(\boldsymbol{\theta}) \dot{\mathbf{p}}</div> <div>$$</div> <div>#### 特異姿勢での対処法：擬似逆行列</div> <div>特異姿勢や$\det(\mathbf{J})$が非常に小さい場合、逆行列$\mathbf{J}^{-1}$が存在しないか、数値的に不安定になります。</div> <div>このような場合、**擬似逆行列**（Moore-Penrose pseudo-inverse）$\mathbf{J}^{+}$を使用することができます：</div> <div>$$</div> <div>\dot{\boldsymbol{\theta}} = \mathbf{J}^{+}(\boldsymbol{\theta}) \dot{\mathbf{p}}</div> <div>$$</div> <div>**擬似逆行列の性質**：</div> <div>- 常に存在する（特異姿勢でも計算可能）</div> <div>- $\mathbf{J}$が正則な場合、$\mathbf{J}^{+} = \mathbf{J}^{-1}$となる</div> <div>- 最小二乗解を提供する</div> <div>**注意**：擬似逆行列は近似解であり、特異姿勢では完全な解が得られない場合があります。</div> <div>```mermaid</div> <div>flowchart TB</div> <div> subgraph FK["順運動学"]</div> <div> θ["関節角 θ"] -->|解析的 一意解| P["手先位置・姿勢 p"]</div> <div> end</div> <div> </div> <div> subgraph IK["逆運動学"]</div> <div> P2["手先位置・姿勢 p"] -->|困難 解が0個/1個/複数個| θ2["関節角 θ"]</div> <div> end</div> <div> </div> <div> subgraph JAC["ヤコビ行列による解法"]</div> <div> P3["手先速度 ṗ"] -->|"J⁻¹(θ)"| θdot["関節角速度 θ̇"]</div> <div> θdot -->|積分| θ3["関節角 θ"]</div> <div> end</div> <div> </div> <div> FK -.->|微小変化で線形化| JAC</div> <div> IK -.->|代替手法| JAC</div> <div>```</div> <div>**ヤコビ行列の利点**：</div> <div>- 速度レベルでの逆変換が可能</div> <div>- 数値的に解くことができる</div> <div>- 特異姿勢を検出できる</div> <div>## 2自由度アームのヤコビ行列</div> <div>### 順運動学の式（再掲）</div> <div>2自由度アームの順運動学：</div> <div>$$</div> <div>\begin{aligned}</div> <div>x &= l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \\</div> <div>y &= l_1 \sin\theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2)</div> <div>\end{aligned}</div> <div>$$</div> <div>### ヤコビ行列の計算</div> <div>ヤコビ行列$\mathbf{J}$は、各出力変数を各入力変数で偏微分した行列：</div> <div>$$</div> <div>\mathbf{J} = \begin{bmatrix}</div> <div>\frac{\partial x}{\partial \theta_1} & \frac{\partial x}{\partial \theta_2} \\</div> <div>\frac{\partial y}{\partial \theta_1} & \frac{\partial y}{\partial \theta_2}</div> <div>\end{bmatrix}</div> <div>$$</div> <div>#### 偏微分の計算方法</div> <div>**重要な原則**：$\theta_1$で偏微分するときは、$\theta_2$は**定数とみなす**。</div> <div>順運動学の式：</div> <div>$$</div> <div>\begin{aligned}</div> <div>x &= l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \\</div> <div>y &= l_1 \sin\theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2)</div> <div>\end{aligned}</div> <div>$$</div> <div>ここで、$l_1$と$l_2$は**定数**（リンクの長さ）です。</div> <div>#### $\frac{\partial x}{\partial \theta_1}$の計算</div> <div>$$</div> <div>\begin{aligned}</div> <div>\frac{\partial x}{\partial \theta_1} &= \frac{\partial}{\partial \theta_1} \left( l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \right) \\</div> <div>&= \frac{\partial}{\partial \theta_1} (l_1 \cos\theta_1) + \frac{\partial}{\partial \theta_1} \left( l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \right)</div> <div>\end{aligned}</div> <div>$$</div> <div>第一項：$l_1$は定数なので、</div> <div>$$</div> <div>\frac{\partial}{\partial \theta_1} (l_1 \cos\theta_1) = l_1 \frac{\partial \cos\theta_1}{\partial \theta_1} = -l_1 \sin\theta_1</div> <div>$$</div> <div>第二項：**合成関数の微分**（チェインルール）を適用します。</div> <div>$l_2$は定数なので、まず$l_2$を外に出します：</div> <div>$$</div> <div>\frac{\partial}{\partial \theta_1} \left( l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \right) = l_2 \frac{\partial}{\partial \theta_1} \cos(\theta_1 + \theta_2)</div> <div>$$</div> <div>合成関数の微分により：</div> <div>$$</div> <div>\frac{\partial \cos(\theta_1 + \theta_2)}{\partial \theta_1} = \frac{\partial \cos(\theta_1 + \theta_2)}{\partial (\theta_1 + \theta_2)} \cdot \frac{\partial (\theta_1 + \theta_2)}{\partial \theta_1}</div> <div>$$</div> <div>ここで：</div> <div>- $\frac{\partial \cos(\theta_1 + \theta_2)}{\partial (\theta_1 + \theta_2)} = -\sin(\theta_1 + \theta_2)$</div> <div>- $\frac{\partial (\theta_1 + \theta_2)}{\partial \theta_1} = 1$（$\theta_2$は定数とみなすため）</div> <div>したがって：</div> <div>$$</div> <div>\begin{aligned}</div> <div>\frac{\partial}{\partial \theta_1} \left( l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \right) &= l_2 \cdot (-\sin(\theta_1 + \theta_2)) \cdot 1 \\</div> <div>&= -l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2)</div> <div>\end{aligned}</div> <div>$$</div> <div>**結果**：</div> <div>$$</div> <div>\frac{\partial x}{\partial \theta_1} = -l_1 \sin\theta_1 - l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2)</div> <div>$$</div> <div>#### $\frac{\partial x}{\partial \theta_2}$の計算</div> <div>$\theta_2$で偏微分するときは、$\theta_1$は**定数とみなす**。</div> <div>$$</div> <div>\begin{aligned}</div> <div>\frac{\partial x}{\partial \theta_2} &= \frac{\partial}{\partial \theta_2} \left( l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \right) \\</div> <div>&= \frac{\partial}{\partial \theta_2} (l_1 \cos\theta_1) + \frac{\partial}{\partial \theta_2} \left( l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \right)</div> <div>\end{aligned}</div> <div>$$</div> <div>第一項：$l_1 \cos\theta_1$は$\theta_2$を含まないため、定数として扱われます：</div> <div>$$</div> <div>\frac{\partial}{\partial \theta_2} (l_1 \cos\theta_1) = 0</div> <div>$$</div> <div>第二項：合成関数の微分を適用：</div> <div>$$</div> <div>\begin{aligned}</div> <div>\frac{\partial}{\partial \theta_2} \left( l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \right) &= l_2 \frac{\partial \cos(\theta_1 + \theta_2)}{\partial (\theta_1 + \theta_2)} \cdot \frac{\partial (\theta_1 + \theta_2)}{\partial \theta_2} \\</div> <div>&= l_2 \cdot (-\sin(\theta_1 + \theta_2)) \cdot 1 \\</div> <div>&= -l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2)</div> <div>\end{aligned}</div> <div>$$</div> <div>**結果**：</div> <div>$$</div> <div>\frac{\partial x}{\partial \theta_2} = -l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2)</div> <div>$$</div> <div>#### $\frac{\partial y}{\partial \theta_1}$の計算</div> <div>$\theta_1$で偏微分するときは、$\theta_2$は**定数とみなす**。</div> <div>$$</div> <div>\begin{aligned}</div> <div>\frac{\partial y}{\partial \theta_1} &= \frac{\partial}{\partial \theta_1} \left( l_1 \sin\theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \right) \\</div> <div>&= \frac{\partial}{\partial \theta_1} (l_1 \sin\theta_1) + \frac{\partial}{\partial \theta_1} \left( l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \right)</div> <div>\end{aligned}</div> <div>$$</div> <div>第一項：$l_1$は定数なので、</div> <div>$$</div> <div>\frac{\partial}{\partial \theta_1} (l_1 \sin\theta_1) = l_1 \frac{\partial \sin\theta_1}{\partial \theta_1} = l_1 \cos\theta_1</div> <div>$$</div> <div>第二項：**合成関数の微分**（チェインルール）を適用します。</div> <div>$l_2$は定数なので、まず$l_2$を外に出します：</div> <div>$$</div> <div>\frac{\partial}{\partial \theta_1} \left( l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \right) = l_2 \frac{\partial}{\partial \theta_1} \sin(\theta_1 + \theta_2)</div> <div>$$</div> <div>合成関数の微分により：</div> <div>$$</div> <div>\frac{\partial \sin(\theta_1 + \theta_2)}{\partial \theta_1} = \frac{\partial \sin(\theta_1 + \theta_2)}{\partial (\theta_1 + \theta_2)} \cdot \frac{\partial (\theta_1 + \theta_2)}{\partial \theta_1}</div> <div>$$</div> <div>ここで：</div> <div>- $\frac{\partial \sin(\theta_1 + \theta_2)}{\partial (\theta_1 + \theta_2)} = \cos(\theta_1 + \theta_2)$</div> <div>- $\frac{\partial (\theta_1 + \theta_2)}{\partial \theta_1} = 1$（$\theta_2$は定数とみなすため）</div> <div>したがって：</div> <div>$$</div> <div>\begin{aligned}</div> <div>\frac{\partial}{\partial \theta_1} \left( l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \right) &= l_2 \cdot \cos(\theta_1 + \theta_2) \cdot 1 \\</div> <div>&= l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2)</div> <div>\end{aligned}</div> <div>$$</div> <div>**結果**：</div> <div>$$</div> <div>\frac{\partial y}{\partial \theta_1} = l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2)</div> <div>$$</div> <div>#### $\frac{\partial y}{\partial \theta_2}$の計算</div> <div>$\theta_2$で偏微分するときは、$\theta_1$は**定数とみなす**。</div> <div>$$</div> <div>\begin{aligned}</div> <div>\frac{\partial y}{\partial \theta_2} &= \frac{\partial}{\partial \theta_2} \left( l_1 \sin\theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \right) \\</div> <div>&= \frac{\partial}{\partial \theta_2} (l_1 \sin\theta_1) + \frac{\partial}{\partial \theta_2} \left( l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \right)</div> <div>\end{aligned}</div> <div>$$</div> <div>第一項：$l_1 \sin\theta_1$は$\theta_2$を含まないため、定数として扱われます：</div> <div>$$</div> <div>\frac{\partial}{\partial \theta_2} (l_1 \sin\theta_1) = 0</div> <div>$$</div> <div>第二項：合成関数の微分を適用：</div> <div>$$</div> <div>\begin{aligned}</div> <div>\frac{\partial}{\partial \theta_2} \left( l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \right) &= l_2 \frac{\partial \sin(\theta_1 + \theta_2)}{\partial (\theta_1 + \theta_2)} \cdot \frac{\partial (\theta_1 + \theta_2)}{\partial \theta_2} \\</div> <div>&= l_2 \cdot \cos(\theta_1 + \theta_2) \cdot 1 \\</div> <div>&= l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2)</div> <div>\end{aligned}</div> <div>$$</div> <div>**結果**：</div> <div>$$</div> <div>\frac{\partial y}{\partial \theta_2} = l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2)</div> <div>$$</div> <div>#### ヤコビ行列の最終形</div> <div>各要素を計算すると：</div> <div>$$</div> <div>\mathbf{J} = \begin{bmatrix}</div> <div>\frac{\partial x}{\partial \theta_1} & \frac{\partial x}{\partial \theta_2} \\</div> <div>\frac{\partial y}{\partial \theta_1} & \frac{\partial y}{\partial \theta_2}</div> <div>\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}</div> <div>-l_1 \sin\theta_1 - l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) & -l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \\</div> <div>l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) & l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2)</div> <div>\end{bmatrix}</div> <div>$$</div> <div>### 速度の関係式</div> <div>手先速度と関節角速度の関係：</div> <div>$$</div> <div>\begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{bmatrix} = \mathbf{J} \begin{bmatrix} \dot{\theta}_1 \\ \dot{\theta}_2 \end{bmatrix}</div> <div>$$</div> <div>逆変換（$\det(\mathbf{J}) \neq 0$の場合）：</div> <div>$$</div> <div>\begin{bmatrix} \dot{\theta}_1 \\ \dot{\theta}_2 \end{bmatrix} = \mathbf{J}^{-1} \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{bmatrix}</div> <div>$$</div> <div>### 特異姿勢</div> <div>#### 特異姿勢とは</div> <div>ヤコビ行列の行列式が0になる姿勢を**特異姿勢**（singular configuration）と呼びます。</div> <div>$$</div> <div>\det(\mathbf{J}) = 0</div> <div>$$</div> <div>特異姿勢では、ヤコビ行列の逆行列が存在しないため、逆速度運動学を直接解くことができません。</div> <div>#### 2自由度アームの特異姿勢の具体例</div> <div>2自由度アームのヤコビ行列の行列式を計算すると：</div> <div>$$</div> <div>\begin{aligned}</div> <div>\det(\mathbf{J}) &= \left(-l_1 \sin\theta_1 - l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2)\right) \cdot l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \\</div> <div>&\quad - \left(-l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2)\right) \cdot \left(l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2)\right) \\</div> <div>&= l_1 l_2 \sin\theta_2</div> <div>\end{aligned}</div> <div>$$</div> <div>したがって、$\det(\mathbf{J}) = 0$となる条件は：</div> <div>$$</div> <div>\sin\theta_2 = 0</div> <div>$$</div> <div>これは、$\theta_2 = 0$または$\theta_2 = \pi$（180度）のときです。</div> <div>**具体例**：</div> <div>1. **完全に伸びた状態**（$\theta_2 = 0$）</div> <div> - 2つのリンクが一直線上に並んだ状態</div> <div> - この姿勢では、手先をリンクの延長方向に動かすことができない</div> <div>2. **完全に折りたたまれた状態**（$\theta_2 = \pi$）</div> <div> - 2つのリンクが完全に重なった状態</div> <div> - この姿勢でも、特定の方向に動かすことができない</div> <div>```mermaid</div> <div>graph TB</div> <div> A["通常姿勢 det J ≠ 0"] -->|sin θ₂ = 0| B["特異姿勢 det J = 0"]</div> <div> B --> C["θ₂ = 0 完全に伸びた状態"]</div> <div> B --> D["θ₂ = π 完全に折りたたまれた状態"]</div> <div> C --> E["特定方向に 動かせない"]</div> <div> D --> E</div> <div>```</div> <div>#### 特異姿勢の検出方法</div> <div>特異姿勢を検出するには、ヤコビ行列の行列式を計算します：</div> <div>$$</div> <div>\det(\mathbf{J}) = l_1 l_2 \sin\theta_2</div> <div>$$</div> <div>- $\det(\mathbf{J}) \neq 0$：通常姿勢（逆行列が存在する）</div> <div>- $\det(\mathbf{J}) = 0$：特異姿勢（逆行列が存在しない）</div> <div>**注意**：数値計算では、$\det(\mathbf{J})$が非常に小さい値（例：$10^{-6}$以下）の場合も、実質的に特異姿勢として扱うことがあります。</div> <div>## まとめ</div> <div>| 項目 | 順運動学 | 逆運動学 |</div> <div>|------|----------|----------|</div> <div>| **入力** | 関節角 | 手先位置・姿勢 |</div> <div>| **出力** | 手先位置・姿勢 | 関節角 |</div> <div>| **解の性質** | 一意解（必ず1つ） | 解が0個/1個/複数個 |</div> <div>| **解法** | 解析的（D-H記法など） | 困難な場合がある |</div> <div>| **代替手法** | - | **ヤコビ行列の利用** |</div> <div>**ヤコビ行列の役割**：</div> <div>- 逆運動学の困難さを解決する手段</div> <div>- 速度レベルでの変換を可能にする</div> <div>- 数値的な解法を提供する</div> <div>**実装時の注意点**：</div> <div>- **数値誤差**：微小変化の計算では、数値誤差が累積する可能性がある。適切な数値精度を確保する</div> <div>- **反復計算**：位置制御では、速度から位置を求めるために積分が必要。反復計算により誤差が蓄積する可能性がある</div> <div>- **特異姿勢の回避**：特異姿勢に近づいた場合、動作を変更するか、擬似逆行列を使用する</div> <div>- **計算効率**：ヤコビ行列の計算は関節数が増えると計算コストが高くなる。効率的な実装を検討する</div> </div> Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource ロボット工学12 Creator An entity primarily responsible for making the resource unjuno Date Created Date of creation of the resource. 2025-12-17 Rights Information about rights held in and over the resource CC BY-NC 4.0 - 非営利目的のみ許可