Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource note Description An account of the resource 日常のノート note 日常のノートの記録 note テキストの自由記述 <div> <div>## 1. ディジタル信号処理の背景</div> <div>- 音声などのアナログ信号は一定周期 $T$ でサンプリング・量子化され、列 $x(n)$ になる。サンプル周波数は</div> <div> $$</div> <div> F_s = \frac{1}{T}</div> <div> $$</div> <div> で定義される。</div> <div> - 例: 従来電話では</div> <div> $$</div> <div> T = \frac{1}{8000}\,\text{s}</div> <div> $$</div> <div> 音楽 CD では</div> <div> $$</div> <div> T = \frac{1}{44100}\,\text{s}</div> <div> $$</div> <div>- ナイキスト標本化定理:</div> <div> $$</div> <div> F_s \ge 2F_{\max}</div> <div> $$</div> <div> を満たせば帯域制限信号は損失なく復元可能。$T$ を小さくして $F_s$ を上げると可聴帯域全体（約 20 kHz）をカバーできる。</div> <div>- 量子化は振幅を有限ビットで表現する過程で、量子化雑音（白色雑音近似）が付加される。ビット数 $B$ を増やすと雑音電力は</div> <div> $$</div> <div> \sigma_q^2 \approx \frac{1}{12}\Delta^2</div> <div> $$</div> <div> （$\Delta$: 量子化ステップ）に低減する。</div> <div>- DSP ではサンプル列に離散畳み込みや周波数変換を施し、改善後に D/A 変換・ポストフィルタを経てアナログ領域へ戻す。計算は固定小数点/浮動小数点プロセッサや FPGA で行う。</div> <div>---</div> <div>## 2. システム構成におけるフィルタ</div> <div>1. アナログ入力 → プリフィルタ（アンチエイリアシング / ブリッジングネットワーク）</div> <div>2. サンプリング & A/D 変換 → デジタル信号 `x(n)`（必要に応じてデジタルダウンコンバータで IF→ベースバンド変換）</div> <div>3. DSP 上のディジタルフィルタ → 出力 `y(n)`（FIR/IIR、複素処理を含む）</div> <div>4. D/A 変換 → ポストフィルタ（スペクトルイメージ除去） → アナログ出力</div> <div>- 処理フローを図示すると以下の通り。</div> <div>```mermaid</div> <div>flowchart LR</div> <div> A[アナログ入力] --> B[プリフィルタ アンチエイリアシング]</div> <div> B --> C[A/D変換 サンプリング・量子化]</div> <div> C --> D[DSP処理 ディジタルフィルタ]</div> <div> D --> E[D/A変換]</div> <div> E --> F[ポストフィルタ イメージ抑制]</div> <div> F --> G[アナログ出力]</div> <div>```</div> <div>- プリフィルタは</div> <div> $$</div> <div> \frac{F_s}{2}</div> <div> $$</div> <div> 以上の高域成分を除去し、折り返し雑音を防ぐ。多くはアクティブローパス+アナログアンチエイリアスで構成。</div> <div>- ポストフィルタは D/A 後に生じるイメージスペクトル（`Fs` の高調波）を抑え、再び連続信号として滑らかにする。</div> <div>- DSP 内部では加算・乗算・遅延素子で任意のインパルス応答を合成する。FIR は有限インパルス応答で厳密線形位相を実現しやすく、IIR はより鋭い遷移帯域を少次数で実現できる。</div> <div>- **理解度チェック:** プリフィルタとポストフィルタの役割・設計制約（遷移帯域、群遅延、実装コスト）の違いを説明できるか?</div> <div>---</div> <div>- 定義: 直近 $M$ サンプルの平均を出力する等重み FIR ローパス。畳み込み核は</div> <div> $$</div> <div> h(n) = \frac{1}{M}, \quad 0 \le n \le M-1</div> <div> $$</div> <div> で、それ以外は $0$。</div> <div>- 数式:</div> <div> $$</div> <div> y(n) = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} x(n-k)</div> <div> $$</div> <div> 未定義の過去サンプルは $0$ と置く（ゼロ初期条件）。$z$ 領域伝達関数は</div> <div> $$</div> <div> H(z) = \frac{1}{M}\left(1 + z^{-1} + \dots + z^{-(M-1)}\right)</div> <div> = \frac{1}{M}\frac{1 - z^{-M}}{1 - z^{-1}}</div> <div> $$</div> <div> であり、単位円上には $M-1$ 個の等間隔ゼロを持つ。</div> <div>- 特徴:</div> <div> - 実装容易（加算とスカラー倍のみ）。固定小数点実装ではシフト演算で $1/M$ を近似できる場合も多い（$M = 2^k$ など）。</div> <div> - 位相は線形で群遅延</div> <div> $$</div> <div> \tau_g = \frac{M-1}{2}</div> <div> $$</div> <div> サンプルを生むため、リアルタイム制御では遅延許容度の検討が必須。</div> <div> - 周波数応答はディリクレ核に相当し、主ローブ幅</div> <div> $$</div> <div> \approx \frac{4\pi}{M}</div> <div> $$</div> <div> サイドローブ減衰 $\approx 13 \text{ dB}$ 程度。滑らかなローパスだがストップバンド減衰は限定的。</div> <div>- **理解度チェック:** `M` を 2 倍にした際、群遅延と主ローブ幅がどう変化するか説明できるか?</div> <div>---</div> <div>## 4. 3点平均フィルタの逐次計算例</div> <div>入力 $x(n)$:</div> <div>| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |</div> <div>|---|---|---|---|---|---|</div> <div>| x(n) | 1 | -1 | 3 | 4 | 2 |</div> <div>出力（$M = 3$）:</div> <div>| n | 計算式 | y(n) |</div> <div>|---|---|---|</div> <div>| 0 | $$\frac{1}{3}(x_0 + x_{-1} + x_{-2})$$ | $$\frac{1}{3}$$ |</div> <div>| 1 | $$\frac{1}{3}(x_1 + x_0 + x_{-1})$$ | $$0$$ |</div> <div>| 2 | $$\frac{1}{3}(x_2 + x_1 + x_0)$$ | $$1$$ |</div> <div>| 3 | $$\frac{1}{3}(x_3 + x_2 + x_1)$$ | $$2$$ |</div> <div>| 4 | $$\frac{1}{3}(x_4 + x_3 + x_2)$$ | $$3$$ |</div> <div>逐次実装では、「新サンプルを加算」「最古サンプルを減算」「$1/M$ を乗算」の 3 ステップで $O(1)$ 更新できる。累積和</div> <div>$$</div> <div>S(n) = x(n) + \dots + x(n-M+1)</div> <div>$$</div> <div>を保持すれば</div> <div>$$</div> <div>S(n) = S(n-1) + x(n) - x(n-M)</div> <div>$$</div> <div>で更新でき、乗算器が制約となる場合は $M = 2^k$ でシフト実装する。FPGA ではシフトレジスタと加算器ツリーで 1 サイクル遅延のパイプラインを構成できる。</div> <div>- **実験課題:** Python/NumPy や MATLAB でホワイトノイズに 3 点移動平均を適用し、時間波形・周波数応答を確認せよ。</div> <div>---</div> <div>## 5. 雑音抑制の理由</div> <div>- **時間領域の直感**: 雑音は急峻・ランダムな変動を含むため平均化で相殺され、滑らかになる。独立同分布雑音 $w(n)$ に対して出力雑音分散は</div> <div> $$</div> <div> \frac{\sigma_w^2}{M}</div> <div> $$</div> <div> まで低減し、</div> <div> $$</div> <div> 10 \log_{10} M\ \text{[dB]}</div> <div> $$</div> <div> の SNR 向上が得られる。</div> <div>- **$M$ と性能のトレードオフ**: $M$ を大きくすると雑音抑制は強力だが、信号の立ち上がりや変調成分も平滑化される。エッジ再現が重要な画像では $M$ を小さく保ち、スペクトル的に限定されたセンサ雑音除去では大きな $M$ を許容するなど、用途依存の最適化が必要。</div> <div>- **周波数領域の視点**: フィルタ係数 $[1/M, \dots, 1/M]$ のフーリエ変換は</div> <div> $$</div> <div> H(e^{j\omega}) = \frac{1}{M} \frac{\sin(M\omega/2)}{\sin(\omega/2)} e^{-j\omega(M-1)/2}</div> <div> $$</div> <div> となり、主ローブ内で通過、サイドローブで減衰するローパス特性を示す。入力スペクトル $X(e^{j\omega})$ とフィルタ $H(e^{j\omega})$ の積が出力スペクトル $Y(e^{j\omega})$ であり、高周波雑音が抑圧される。</div> <div>- **PSD 解析**: 入力雑音のパワースペクトル密度 $S_w(\omega)$ に対して出力 PSD は</div> <div> $$</div> <div> \left|H(e^{j\omega})\right|^2 S_w(\omega)</div> <div> $$</div> <div> 。白色雑音なら $|H|^2$ に比例して減衰する。低周波寄りのピンク雑音では完全には落ちないため、追加の重み付けや適応フィルタ（LMS、RLS）との組み合わせが検討される。</div> <div>---</div> <div>## 6. Python 実装例</div> <div>以下は `M=7` の移動平均フィルタでホワイトノイズ混入信号を平滑化し、SNR 改善と周波数応答を確認する最小実験コード。</div> <div>```python</div> <div>import numpy as np</div> <div>from numpy.fft import rfft, rfftfreq</div> <div>import matplotlib.pyplot as plt</div> <div>def moving_average(x: np.ndarray, M: int) -> np.ndarray:</div> <div> kernel = np.ones(M) / M</div> <div> return np.convolve(x, kernel, mode="same")</div> <div>Fs = 48_000</div> <div>duration = 0.05</div> <div>t = np.arange(0, duration, 1 / Fs)</div> <div>signal = np.sin(2 * np.pi * 1_000 * t)</div> <div>noise = 0.4 * np.random.randn(t.size)</div> <div>x = signal + noise</div> <div>M = 7</div> <div>y = moving_average(x, M)</div> <div>snr_in = 10 * np.log10(np.mean(signal**2) / np.mean(noise**2))</div> <div>snr_out = 10 * np.log10(np.mean(signal**2) / np.mean((y - signal)**2))</div> <div>freq = rfftfreq(t.size, 1 / Fs)</div> <div>X = np.abs(rfft(x))</div> <div>Y = np.abs(rfft(y))</div> <div>print(f"SNR in = {snr_in:.2f} dB")</div> <div>print(f"SNR out = {snr_out:.2f} dB")</div> <div>plt.figure(figsize=(10, 4))</div> <div>plt.plot(freq, X, label="Input |X|")</div> <div>plt.plot(freq, Y, label="Output |Y|")</div> <div>plt.xlim(0, 10_000)</div> <div>plt.xlabel("Frequency [Hz]")</div> <div>plt.ylabel("Amplitude")</div> <div>plt.legend()</div> <div>plt.tight_layout()</div> <div>plt.show()</div> <div>```</div> <div>$$</div> <div>\text{SNR}_{\text{out}} - \text{SNR}_{\text{in}}</div> <div>$$</div> <div>が理論値</div> <div>$$</div> <div>10 \log_{10} M \approx 8.45\ \text{dB}</div> <div>$$</div> <div>に近いこと、スペクトルで高周波が抑圧されることを確認できる。$M$ や信号周波数、雑音統計を変えれば課題 1〜4 の検証を自動化できる。</div> <div>同じ処理フローを図示すると以下の通り。プログラムに馴染みがなくても、データ生成から可視化までの段階が追える。</div> <div>```mermaid flowchart TD A[パラメータ設定 Fs, M, duration] --> B[時間軸 t 生成] B --> C[信号生成 sin波] B --> D[雑音生成 正規乱数] C --> E[信号+雑音で x を作成] D --> E E --> F[移動平均フィルタ np.convolve] F --> G[SNR計算 入力または出力] E --> H[FFTで &vert;X&vert; を計算] F --> I[FFTで &vert;Y&vert; を計算] G --> J[数値表示] H --> K[周波数軸 freq] I --> K K --> L[プロット表示] ``` </div> </div> Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource デジタル信号処理9 Creator An entity primarily responsible for making the resource unjuno Date Created Date of creation of the resource. 2025-11-17 Rights Information about rights held in and over the resource CC BY-NC 4.0 - 非営利目的のみ許可